Соответствие один-к-одному

Вот точное определение: соответствие один-к-одному – Пусть A и B – это множества, не обязательно различные. Тогда соответствие от A к B один-к-одному – это правило, которое спаривает каждый элемент множества A ровно с одним элементом множества B и каждый элемент множества B ровно с одним элементом множества A. Эквивалентно, мы могли бы сказать, что соответствие один-к-одному – это само спаривание.

Например, пусть A – это множество всех целых чисел. Тогда спаривание элементов x с их последующими элементами x+1 является соответствием один-к-одному из A к самому ему, и то же можно сказать про спаривание элементов x с их предшествующими элементами x-1.

Полагаю очевидным тот факт, что соответствие один-к-одному – это ничто иное, как ранее определенная биекция. Беда в том, что термин соответствие один-к-одному часто неточно используют в одном из следующих значений (обратите внимание на многие тонкие отличия):

Такое спаривание, что каждому элементу A соответствует не более одного элемента B (хотя каждому элементу B соответствует ровно один элемент A).
Такое спаривание, что (хотя каждому элементу A соответствует ровно один элемент B) каждому элементу B соответствует не более одного элемента A).
Такое спаривание, что каждому элементу A соответствует не более одного элемента B, и каждому элементу B соответствует не более одного элемента A).

Временно я буду называть эти три интерпретации термина соответствие один-к-одному Типом 1, Типом 2 и Типом 3 соответственно, а строгую (биективную) интерпретацию – Типом 0. Позвольте мне теперь соотнести эти четыре интерпретации со случаями, установленными в разд. «Сколько имеется случаев?» (там, где это возможно). В действительности, должны быть ясны следующие факты:

Случай 2.2 (ранее корректно распознанный, как биекция, или связь от A к B один-к-одному «на») может также быть распознан, как соответствие Типа 0 от A к B один-к-одному (и также от B к A).
Случай 1.2 (ранее корректно распознанный, как инжекция, или связь от A к B один-к-одному «в») может также быть распознан, как соответствие Типа 1 от A к B один-к-одному.
Случай 2.1 (ранее корректно распознанный, как инжекция, или связь от A к B один-к-одному «в») может также быть распознан, как соответствие Типа 2 от A к B один-к-одному.
Случай 1.1 может быть распознан, как соответствие Типа 3 от A к B один-к-одному (и также от B к A).

Замечание: Принимая во внимание то, что (как я уже говорил) интерпретации Типа 1, Типа 2 и Типа 3 являются неточными, теперь можно видеть, почему ранее говорилось (в разделе «Функции»), что, в частности, в случае связи один-к-одному «в» спецификатор один-к-одному использовался немного неаккуратно.

Содержание Назад Вперед