Для полноты приведу их определения.

Для полноты приведу их определения. биекция – Пусть f – это функция с областью определения A и областью значений B. Тогда f является биекцией (называемой также связью один-к-одному «на») тогда и только тогда, когда каждый элемент b в B представляет собой образ ровно одного элемента a из A.

инжекция – Пусть f – это функция с областью определения A и областью значений B. Тогда f является инжекцией (называемой также связью один-к-одному «в») тогда и только тогда, когда каждый элемент b в B представляет собой образ не более одного элемента a из A.

Заметим, в частности, что функция является биекцией в том и только в том случае, когда она одновременно является инжекцией и сюръекцией. Эквивалентно, биекция является функцией (из области определения A в область значений B), для которой обратная связь (из B в A) – это тоже функция (в действительности, биекция). Вот простой пример. Пусть A и B – это множество всех целых чисел, и пусть f – это функция, отображающая целые числа x в их последующие элементы x+1. Тогда f – это биекция множества A в само себя (и то же можно сказать про обратную функцию, которое отображает целые числа x в и их предшествующие элементы x-1, – это биекция множества A в само себя).

Далее, заметим, что биекцию можно считать отображением без потерь в том смысле, что мы всегда можем вернуться к произвольному элементу a из области определения из его образа b из области значений путем использования обратного отображения, которое также является биекцией. Замечание: Биекции иногда называют также изоморфными отображениями, хотя эта терминология осуждается (см. разд. «Заключительные замечания»).

Позвольте мне теперь соотнести термины, определенные в этом разделе, со случаями, которые были установлены в разд. «Сколько имеется случаев?» (там, где это возможно). Без подробного обсуждения должны быть понятны следующие факты:

Случай 2.1 является инжекцией, или связью от A в B один-к-одному «в» (и случай 1.2 – это инжекция от B в A).
Случай 2.2 является биекцией, или связью от A в B один-к-одному «на» (и также от B в A).
Случай 2.3 является сюръекцией, или связью от A в B многие-к-одному «в» (и случай 3.2 – это сюръекция от B в A).
Случай 2.4 является функцией от A в B, которая не является ни инжекцией, ни биекцией, ни сюръекцией (и случай 4.2 является функцией от B в A, которая не является ни инжекцией, ни биекцией, ни сюръекцией).

Итак, теперь мы разобрались с четырьмя из десяти различными случаями, или семью из всех 16 случаев. А что можно сказать про остальные случаи? Очевидно, что понятие функции больше нам помочь не может; чтобы должным образом разобраться с остальными случаями, нужны дополнительные понятия и дополнительные определения

Содержание Назад Вперед